As expressões algébricas são conhecidas como a combinação de letras, sinais e números em operações matemáticas. Normalmente, as letras representam quantidades desconhecidas e são chamadas de variáveis ou incógnitas. As expressões algébricas permitem traduções para as expressões matemáticas da linguagem comum. As expressões algébricas surgem da obrigação de traduzir valores desconhecidos em números representados por letras. O ramo da matemática responsável pelo estudo dessas expressões em que aparecem números e letras, bem como sinais de operações matemáticas, é a álgebra.
O que são expressões algébricas
Tabela de conteúdos
Conforme mencionado anteriormente, essas operações nada mais são do que a combinação de letras, números e sinais que são subsequentemente usados em diferentes operações matemáticas. Nas expressões algébricas, as letras têm o comportamento de números e, quando fazem esse curso, são utilizadas entre uma e duas letras.
Independentemente da expressão que você tem, a primeira coisa a fazer é simplificar, isso é feito usando as propriedades da (s) operação (ões), que são equivalentes às propriedades numéricas. Para encontrar o valor numérico de uma operação algébrica, você deve substituir a letra por um certo número.
Muitos exercícios podem ser feitos nessas expressões e serão feitos nesta seção para melhorar a compreensão do assunto em questão.
Exemplos de expressões algébricas:
- (X + 5 / X + 2) + (4X + 5 / X + 2)
X + 5 + 4X + 5 / X + 2
5X + 10 / X + 2
5 (X + 2) / X + 2
5
- (3 / X + 1) - (1 / X + 2)
3 (X + 2) - X - 1 / (X + 1) * (X + 2)
2X - 5 / X ^ 2 + 3X + 2
Linguagem algébrica
A linguagem algébrica é aquela que usa símbolos e letras para representar números. Sua principal função é estabelecer e estruturar uma linguagem que ajude a generalizar as diferentes operações que ocorrem na aritmética, onde ocorrem apenas os números e suas operações aritméticas elementares (+ -x%).
A linguagem algébrica visa estabelecer e projetar uma linguagem que ajude a generalizar as diferentes operações que se desenvolvem dentro da aritmética, onde apenas os números e suas operações matemáticas básicas são usados: adição (+), subtração (-), multiplicação (x) e divisão (/).
A linguagem algébrica é caracterizada pela sua precisão, pois é muito mais concreta do que a linguagem numérica. Por meio dele, as frases podem ser expressas de forma resumida. Exemplo: o conjunto de múltiplos de 3 é (3, 6, 9, 12…) é expresso em 3n, onde n = (1, 2, 3, 4…).
Ele permite que você expresse números desconhecidos e execute operações matemáticas com eles. Exemplo, a soma de dois números é expressa assim: a + b. Suporta a expressão de propriedades e relações numéricas gerais.
Exemplo: a propriedade comutativa é expressa assim: axb = bx a. Ao escrever nesta linguagem, quantidades desconhecidas podem ser manipuladas com símbolos simples de escrever, permitindo a simplificação de teoremas, formulação de equações e desigualdades e o estudo de como resolvê-los.
Sinais e símbolos algébricos
Na álgebra, tanto os símbolos quanto os sinais são usados na teoria dos conjuntos e constituem ou representam equações, séries, matrizes, etc. As letras são expressas ou nomeadas como variáveis, pois a mesma letra é usada em outros problemas e seu valor encontra variáveis diferentes. Algumas das expressões algébricas de classificação incluem o seguinte:
Frações algébricas
Uma fração algébrica é conhecida como aquela representada pelo quociente de dois polinômios que apresentam comportamento semelhante às frações numéricas. Em matemática, você pode operar com essas frações fazendo multiplicação e divisão. Portanto, deve ser expresso que a fração algébrica é representada pelo quociente de duas expressões algébricas onde o numerador é o dividendo e o denominador o divisor.
Dentre as propriedades das frações algébricas, pode-se destacar que se o denominador for dividido ou multiplicado pela mesma quantidade diferente de zero, a fração não será alterada. A simplificação de uma fração algébrica consiste em transformá-la em uma fração que não pode mais ser reduzida, sendo necessário fatorar os polinômios que compõem o numerador e o denominador.
As expressões algébricas de classificação refletem-se nos seguintes tipos: equivalente, simples, correto, impróprio, composto de numerador ou denominador nulo. Então veremos cada um deles.
Equivalentes
Esse aspecto é enfrentado quando o produto vetorial é o mesmo, ou seja, quando o resultado das frações é o mesmo. Por exemplo, dessas duas frações algébricas: 2/5 e 4/10 serão equivalentes se 2 * 10 = 5 * 4.
Simples
São aqueles em que o numerador e o denominador representam expressões racionais inteiras.
Próprio
São frações simples em que o numerador é menor que o denominador.
Impróprio
São frações simples em que o numerador é igual ou maior que o denominador.
Composto
São formados por uma ou mais frações que podem estar localizadas no numerador, no denominador ou em ambos.
Numerador ou denominador nulo
Ocorre quando o valor é 0. No caso de ter fração 0/0 ela será indeterminada. Ao usar frações algébricas para realizar operações matemáticas, algumas características das operações com frações numéricas devem ser levadas em consideração, por exemplo, para iniciar o mínimo múltiplo comum deve ser encontrado quando os denominadores são de dígitos diferentes.
Tanto na divisão como na multiplicação, as operações são realizadas e realizadas da mesma forma que com as frações numéricas, pois estas devem ser previamente simplificadas o máximo possível.
Monômios
Monômios são expressões algébricas amplamente utilizadas que possuem uma constante chamada coeficiente e uma parte literal, que é representada por letras e pode ser elevada a diferentes potências. Por exemplo, o monômio 2x² tem 2 como coeficiente e x² é a parte literal.
Em várias ocasiões, a parte literal pode ser composta por uma multiplicação de incógnitas, por exemplo no caso de 2xy. Cada uma dessas letras é chamada de indeterminada ou variável. Um monômio é um tipo de polinômio com um único termo, além disso, existe a possibilidade de estar na frente de monômios semelhantes.
Elementos de monômios
Dado o monômio 5x ^ 3; Os seguintes elementos são diferenciados:
- Coeficiente: 5
- Parte literal: x ^ 3
O produto dos monômios é o coeficiente, que se refere ao número que aparece multiplicando a parte literal. Normalmente é colocado no início. Se o produto dos monômios tiver valor 1, não está escrito e nunca pode ser zero, pois toda a expressão teria valor zero. Se há uma coisa a saber sobre exercícios monomiais, é que:
- Se um monômio carece de um coeficiente, é igual a um.
- Se algum termo não tiver expoente, é igual a um.
- Se alguma parte literal não estiver presente, mas for necessária, ela é considerada com um expoente zero.
- Se nada disso concordar, então você não está lidando com exercícios monomiais, você poderia até dizer que a mesma regra existe com os exercícios entre polinômios e monômios.
Adição e subtração de monômios
Para poder realizar somas entre dois monômios lineares, é necessário manter a parte linear e somar os coeficientes. Nas subtrações de dois monômios lineares, a parte linear deve ser mantida, como nas somas, para poder subtrair os coeficientes, então os coeficientes são multiplicados e os expoentes são somados com as mesmas bases.
Multiplicação de monômios
É um monômio cujo coeficiente é o produto ou resultado dos coeficientes, os quais têm uma parte literal que foi obtida através da multiplicação de potências que têm exatamente a mesma base.
Divisão de monômios
Nada mais é que outro monômio cujo coeficiente é o quociente dos coeficientes obtidos que, além disso, têm uma parte literal obtida das divisões entre as potências que têm exatamente a mesma base.
Polinômios
Quando falamos sobre polinômios, nos referimos a uma operação algébrica de adição, subtração e multiplicação ordenada feita de variáveis, constantes e expoentes. Em álgebra, um polinômio pode ter mais de uma variável (x, y, z), constantes (inteiros ou frações) e expoentes (que só podem ser inteiros positivos).
Os polinômios são constituídos por termos finitos, cada termo é uma expressão que contém um ou mais dos três elementos com os quais são feitos: variáveis, constantes ou expoentes. Por exemplo: 9, 9x, 9xy são todos termos. Outra maneira de identificar os termos é que eles são separados por adição e subtração.
Para resolver, simplificar, adicionar ou subtrair polinômios, você deve juntar os termos com as mesmas variáveis que, por exemplo, os termos com x, os termos com “y” e os termos que não possuem variáveis. Além disso, é importante olhar para o sinal antes do termo que determinará se deve adicionar, subtrair ou multiplicar. Termos com as mesmas variáveis são agrupados, adicionados ou subtraídos.
Tipos de polinômios
O número de termos que um polinômio possui indicará que tipo de polinômio ele é, por exemplo, se houver um polinômio de termo único, então ele está voltado para um monômio. Um exemplo claro disso é um dos exercícios de polinômios (8xy). Existe também o polinômio de dois termos, que é chamado de binômio e é identificado pelo seguinte exemplo: 8xy - 2y.
Finalmente, o polinômio de três termos, que são conhecidos como trinômios e são identificados por um dos exercícios polinomiais de 8xy - 2y + 4. Os trinômios são um tipo de expressão algébrica formada pela soma ou diferença de três termos ou monômios (monômios semelhantes).
Também é importante falar sobre o grau de polinômio, pois se for uma única variável, é o maior expoente. O grau de um polinômio com mais de uma variável é determinado pelo termo com o maior expoente.
Adição e subtração de polinômios
Adicionar polinômios envolve combinar termos. Termos semelhantes referem-se a monômios que têm a mesma variável ou variáveis elevadas à mesma potência.
Existem diferentes maneiras de realizar cálculos polinomiais, incluindo a soma de polinômios, que pode ser feito de duas maneiras diferentes: horizontalmente e verticalmente.
- Soma de polinômios na horizontal: serve para realizar operações na horizontal, vale a pena redundância, mas primeiro se escreve um polinômio e depois segue na mesma linha. Depois disso, o outro polinômio que vai ser adicionado ou subtraído é escrito e, por fim, os termos semelhantes são agrupados.
- Soma vertical de polinômios: é obtida escrevendo o primeiro polinômio de forma ordenada. Se estiver incompleto, é importante deixar livres as lacunas dos termos ausentes. Então, o próximo polinômio é escrito logo abaixo do anterior, desta forma, o termo semelhante ao anterior ficará abaixo. Finalmente, cada coluna é adicionada.
É importante acrescentar que para somar dois polinômios, devem ser somados os coeficientes dos termos do mesmo grau. O resultado da adição de dois termos do mesmo grau é outro termo do mesmo grau. Se algum termo estiver faltando em qualquer um dos graus, ele pode ser concluído com 0. E eles são geralmente ordenados do grau mais alto para o mais baixo.
Conforme mencionado acima, para realizar a soma de dois polinômios, basta somar os termos do mesmo grau. As propriedades desta operação são compostas por:
- Propriedades associativas: em que a soma de dois polinômios é resolvida pela adição dos coeficientes que acompanham os x que sobem à mesma potência.
- Propriedade comutativa: que altera a ordem da adição e o resultado não pode ser deduzido. Os elementos neutros, que têm todos os seus coeficientes iguais a 0. Quando um polinômio é adicionado ao elemento neutro, o resultado é igual ao primeiro.
- Propriedade oposta: formada pelo polinômio que possui todos os coeficientes inversos dos coeficientes do polinômio agregado. portanto, ao realizar a operação de adição, o resultado é o polinômio nulo.
No que diz respeito à subtração de polinômios, (operações com polinômios) é imprescindível agrupar os monômios de acordo com as características que possuem e iniciar pela simplificação dos semelhantes. As operações com polinômios são realizadas adicionando o oposto do subtraendo ao minuendo.
Outra maneira eficiente de proceder com a subtração de polinômios é escrever o oposto de cada polinômio abaixo do outro. Assim, monômios semelhantes permanecem nas colunas e passamos a adicioná-los. Não importa qual técnica seja realizada, no final, o resultado será sempre o mesmo, é claro, se for feito corretamente.
Multiplicação de polinômios
A multiplicação de monômios ou exercícios entre polinômios e monômios, é uma operação realizada para encontrar o produto resultante, entre um monômio (expressão algébrica baseada na multiplicação de um número e uma letra elevada a um inteiro e expoente positivo) e outro expressão, se for um termo independente, outro monômio, ou mesmo um polinômio (soma finita de monômios e termos independentes).
Porém, como em quase todas as operações matemáticas, a multiplicação de polinômios também possui uma série de etapas que devem ser seguidas na resolução da operação proposta, que podem ser resumidas nos seguintes procedimentos:
A primeira coisa a fazer é multiplicar o monômio por sua expressão (multiplicar os sinais de cada um de seus termos). Em seguida, os valores dos coeficientes são multiplicados e quando o valor é encontrado naquela operação, adiciona-se o literal dos monômios encontrados nos termos. Em seguida, cada resultado é anotado em ordem alfabética e, por fim, cada expoente é adicionado, que estão localizados nos literais de base.
Divisão Polinomial
Também conhecido como método Ruffini. Ele nos permite dividir um polinômio por um binômio e também nos permite localizar as raízes de um polinômio para fatorá-lo em binômios. Em outras palavras, essa técnica permite dividir ou decompor um polinômio algébrico de grau n, em um binômio algébrico e, a seguir, em outro polinômio algébrico de grau n-1. E para que isso seja possível, é necessário conhecer ou conhecer pelo menos uma das raízes do polinômio único, para que a separação seja exata.
É uma técnica eficiente para dividir um polinômio por um binômio da forma x - r. A regra de Ruffini é um caso especial de divisão sintética quando o divisor é um fator linear. O método de Ruffini foi descrito pelo matemático italiano, professor e médico Paolo Ruffini em 1804, que além de inventar o famoso método denominado regra de Ruffini, que ajuda a encontrar os coeficientes do resultado da fragmentação de um polinômio pelo binomial; Ele também descobriu e formulou essa técnica no cálculo aproximado das raízes das equações.
Como sempre, quando se trata de uma operação algébrica, a Regra de Ruffini envolve uma série de etapas que devem ser cumpridas para se chegar ao resultado desejado, neste caso: encontre o quociente e o resto inerentes à divisão de qualquer tipo de polinômio e um binômio da forma x + r.
Primeiramente, ao iniciar a operação, as expressões devem ser revisadas para verificar ou determinar se realmente são tratadas como polinômios e binômios que respondem à forma esperada pelo método da Regra de Ruffini.
Depois que essas etapas são verificadas, o polinômio é ordenado (em ordem decrescente). Uma vez concluída esta etapa, apenas os coeficientes dos termos do polinômio (até o independente) são levados em consideração, colocando-os em uma linha da esquerda para a direita. Alguns espaços são deixados para os termos que são necessários (apenas no caso de um polinômio incompleto). O sinal da galera é colocado à esquerda da linha, que é composta pelos coeficientes do polinômio do dividendo.
Na parte esquerda da galeria, passamos a colocar o termo independente do binômio, que, agora, é um divisor e seu sinal é inverso. O independente é multiplicado pelo primeiro coeficiente do polinômio, registrando-se assim em uma segunda linha abaixo da primeira. Então, o segundo coeficiente e o produto do termo independente monomial são subtraídos pelo primeiro coeficiente.
O termo independente do binômio é multiplicado pelo resultado da subtração anterior. Mas, além disso, é colocado na segunda linha, que corresponde ao quarto coeficiente. A operação é repetida até que todos os termos sejam alcançados. A terceira linha obtida com base nessas multiplicações é tomada como quociente, com exceção de seu último termo, que será considerado como o restante da divisão.
O resultado é expresso, acompanhando cada coeficiente da variável e o grau que lhe corresponde, passando a expressá-los com um grau inferior ao que tinham originalmente.
- Teorema do restante: é um método prático usado para dividir um polinômio P (x) por outro cuja forma é xa; em que apenas o valor do resto é obtido. Para aplicar esta regra, as seguintes etapas são seguidas. O dividendo polinomial é escrito sem completar ou ordenar, então a variável x do dividendo é substituída pelo valor oposto do termo independente do divisor. E, finalmente, as operações são resolvidas em combinação.
O teorema do resto é um método pelo qual podemos obter o resto de uma divisão algébrica, mas no qual não é necessário fazer nenhuma divisão.
- Método de Ruffini: o método ou regra de Ruffini é um método que nos permite dividir um polinômio por um binômio e também nos permite localizar as raízes de um polinômio para fatorar em binômios. Em outras palavras, esta técnica permite dividir ou decompor um polinômio algébrico de grau n, em um binômio algébrico e, a seguir, em outro polinômio algébrico de grau n-1. E para que isso seja possível, é necessário conhecer ou conhecer pelo menos uma das raízes do polinômio único, para que a separação seja exata.
- Raízes de polinômios: as raízes de um polinômio são certos números que fazem um polinômio valer zero. Também podemos dizer que as raízes completas de um polinômio de coeficientes inteiros serão divisores do termo independente. Quando resolvemos um polinômio igual a zero, obtemos as raízes do polinômio como soluções. Como propriedades das raízes e fatores dos polinômios, podemos dizer que os zeros ou raízes de um polinômio são pelos divisores do termo independente que pertence ao polinômio.
Isso nos permite descobrir o restante da divisão de um polinômio p (x) por outro da forma xa, por exemplo. Deste teorema, segue-se que um polinômio p (x) é divisível por xa apenas se a for uma raiz do polinômio, somente se e somente se p (a) = 0. Se C (x) for o quociente e R (x) é o resto da divisão de qualquer polinômio p (x) por um binômio que seria (xa) o valor numérico de p (x), para x = a, é igual ao resto de sua divisão por xa.
Então diremos que: nP (a) = C (a) • (a - a) + R (a) = R (a). Em geral, para obter o resto de uma divisão por Xa, é mais conveniente aplicar a regra de Ruffini do que substituir x. Portanto, o teorema do resto é o método mais adequado para resolver problemas.
No mundo matemático, a regra de Ruffini é uma técnica eficiente para dividir um polinômio por um binômio da forma x - r. A regra de Ruffini é um caso especial de divisão sintética quando o divisor é um fator linear.
O método de Ruffini foi descrito pelo matemático italiano, professor e médico Paolo Ruffini em 1804, que além de inventar o famoso método denominado regra de Ruffini, que ajuda a encontrar os coeficientes do resultado da fragmentação de um polinômio pelo binomial; Ele também descobriu e formulou essa técnica no cálculo aproximado das raízes das equações.
Então, para cada raiz, por exemplo, do tipo x = a corresponde a um binômio do tipo (xa). É possível expressar um polinômio em fatores se o expressarmos como um produto ou de todos os binômios do tipo (xa) que correspondem às raízes, x = a, esse resultado. Deve-se levar em consideração que a soma dos expoentes dos binômios é igual ao grau do polinômio, também deve-se levar em consideração que qualquer polinômio que não possua um termo independente admitirá como raiz x = 0, de outra forma, admitirá como um Fator X.
Chamaremos um polinômio de "primo" ou "Irredutível" quando não houver possibilidade de fatorá-lo em fatores.
Para nos aprofundarmos no assunto, devemos ter clareza sobre o teorema fundamental da álgebra, que afirma que basta que um polinômio em uma variável não constante e coeficientes complexos tenha tantas raízes quanto seu grau, já que as raízes têm suas multiplicidades. Isso confirma que qualquer equação algébrica de grau n tem n soluções complexas. Um polinômio de grau n tem no máximo n raízes reais.
Exemplos e exercícios
Nesta seção colocaremos alguns exercícios resolvidos de expressões algébricas de cada um dos tópicos abordados neste artigo.
Exercícios de expressões algébricas:
- X ^ 2 - 9 / 2X + 6
(X + 3) * (X - 3) / 2 * (X + 3)
X - 3/2
- X ^ 2 + 2X + 1 / X ^ 2 - 1
(X + 1) ^ 2 / (X + 1) * (X - 1)
X + 1 / X - 1
Soma de polinômios
- 2x + 3x + 5x = (2 + 3 + 5) x = 10 x
- P (x) = 2 × 2 + 5x-6
Q (x) = 3 × 2-6x + 3
P (x) + Q (x) = (2 × 2 + 5x-6) + (3 × 2-6x +3) = (2 × 2 + 3 × 2) + (5x-6x) + (-6 + 3) = 5 × 2-x-3
Subtração de polinômios
P (x) = 2 × 2 + 5x-6
Q (x) = 3 × 2-6x + 3
P (x) -Q (x) = (2 × 2 + 5x-6) - (3 × 2-6x +3) = (2 × 2 + 5x-6) + (-3 × 2 + 6x-3) = (2 × 2-3 × 2) + (5x + 6x) + (-6-3) = -x2 + 11x-9
Divisão Polinomial
- 8 a / 2 a = (8/2). (A / a) = 4
- 15 ay / 3a = (15/3) (ay) / a = 5 e
- 12 bxy / -2 bxy = (12 / -2) (bxy) / (bxy.) = -6
- -6 v2.c. x / -3vc = (-6 / -3) (v2.c. x) / (v. c) = 2 v
Expressões algébricas (binomial ao quadrado)
(x + 3) 2 = x 2 + 2 • x • 3 + 32 = x 2 + 6 x + 9
(2x - 3) 2 = (2x) 2 - 2 • 2x • 3 + 32 = 4 × 2 - 12 x + 9
Teorema restante
(x4 - 3 × 2 + 2):(x - 3)
R = P (3) = 34 - 3 • 32 + 2 = 81 - 27 + 2 = 56
Multiplicação de monômios
axn bxm = (a b) xn + m
(5x²y³z) (2y²z²) = (2 · 5) x²y3 + 2z1 + 2 = 10x²y5z³
4x · (3x²y) = 12x³y
Divisão de monômios
8 a / 2 a = (8/2). (A / a) = 4
15 ay / 3a = (15/3) (ay) / a = 5 e
12 bxy / -2 bxy = (12 / -2) (bxy) / (bxy.) = -6
-6 v2. c. x / -3vc = (-6 / -3) (v2.c. x) / (v. c) = 2 v
Adição e subtração de monômios
Exercício: 3 × 3 - 4x + 5 - 2 + 2 × 3 + 2 × 2
Solução: 3 × 3 - 4x + 5 - 2 + 2 × 3 + 2 × 2 = 3 × 3 + 2 × 3 + 2 × 2 - 4x + 5 -2 = 5 × 3 + 2 × 2 - 4x + 3
