A álgebra é um ramo da matemática que usa números, letras e sinais para se referir às várias operações aritméticas realizadas. Hoje a álgebra como recurso matemático é usada em relacionamentos, estruturas e quantidade. A álgebra elementar é a mais comum, pois é a que utiliza operações aritméticas como adição, subtração, multiplicação e divisão, pois, ao contrário da aritmética, utiliza símbolos como xy sendo o mais comum em vez de números.
O que é álgebra
Tabela de conteúdos
É o ramo que pertence à matemática, que permite desenvolver e resolver problemas aritméticos por meio de letras, símbolos e números, que por sua vez simbolizam objetos, assuntos ou grupos de elementos. Isso permite formular operações que contêm números desconhecidos, chamados de incógnitas e que possibilitam o desenvolvimento de equações.
Por meio da álgebra, o homem soube contar de forma abstrata e genérica, mas também mais avançada, por meio de cálculos mais complexos, desenvolvidos por intelectuais matemáticos e físicos como Sir Isaac Newton (1643-1727), Leonhard Euler (1707- 1783), Pierre de Fermat (1607-1665) ou Carl Friedrich Gauss (1777-1855), graças a cujas contribuições temos a definição da álgebra como é conhecida hoje.
Porém, de acordo com a história da álgebra, Diofanto de Alexandria (data de nascimento e morte desconhecida, que se acredita ter vivido entre os séculos III e IV), foi na verdade o pai desse ramo, pois publicou uma obra chamada Arithmetica, que Consistia em treze livros e nos quais apresentava problemas com equações que, embora não correspondessem a um caráter teórico, eram adequadas para soluções gerais. Isso ajudou a definir o que é álgebra, e entre muitas das contribuições que fez, foi a implementação de símbolos universais para a representação de uma incógnita dentro das variáveis do problema a ser resolvido.
A origem da palavra "álgebra" vem do árabe e significa "restauração" ou "reconhecimento". Da mesma forma, tem seu significado em latim, que corresponde a "redução" e, embora não sejam termos idênticos, significam a mesma coisa.
Como uma ferramenta adicional para o estudo deste ramo, você pode ter a calculadora algébrica, que são calculadoras que podem representar graficamente funções algébricas. Permitindo desta forma integrar, derivar, simplificar expressões e funções de gráfico, fazer matrizes, resolver equações, entre outras funções, embora esta ferramenta seja mais adequada para um nível superior.
Dentro da álgebra está o termo algébrico, que é o produto de um fator numérico de pelo menos uma variável de letra; em que cada termo pode ser diferenciado por seu coeficiente numérico, suas variáveis representadas por letras e o grau do termo pela adição dos expoentes dos elementos literais. Isso significa que para o termo algébrico p5qr2, o coeficiente será 1, sua parte literal será p5qr2 e seu grau será 5 + 1 + 2 = 8.
O que é uma expressão algébrica
É uma expressão composta de constantes inteiras, variáveis e operações algébricas. Uma expressão algébrica é composta de signos ou símbolos e é composta de outros elementos específicos.
Na álgebra elementar, assim como na aritmética, as operações algébricas que são usadas para resolver problemas são: adição ou adição, subtração ou subtração, multiplicação, divisão, empoderamento (multiplicação de um fator múltiplo tempos) e radicação (operação inversa de potenciação).
Os sinais usados nessas operações são iguais aos usados para aritmética para adição (+) e subtração (-), mas para a multiplicação, o X (x) é substituído por um ponto (.) Ou podem ser representados com sinais de agrupamento (exemplo: cd e (c) (d) são equivalentes ao elemento “c” multiplicado pelo elemento “d” ou cxd) e na divisão algébrica dois pontos (:) são usados.
Sinais de agrupamento também são usados, como parênteses (), colchetes, colchetes {} e listras horizontais. Também são utilizados sinais de relação, que são aqueles utilizados para indicar que há correlação entre dois dados, e entre os mais utilizados são iguais a (=), maiores que (>) e menores que (<).
Além disso, são caracterizados pelo uso de números reais (racionais, que incluem positivo, negativo e zero; e irracionais, que são aqueles que não podem ser representados como frações) ou complexos, que fazem parte dos reais, formando um campo algebraicamente fechado.
Estas são as principais expressões algébricas
Existem expressões que fazem parte do conceito do que é álgebra, essas expressões são classificadas em dois tipos: monômios, que são aquelas que possuem um único adendo; e polinômios, que tem dois (binômios), três (trinômios) ou mais adendos.
Alguns exemplos de monômios seriam: 3x, π
Enquanto alguns polinômios podem ser: 4 × 2 + 2x (binomial); 7ab + 3a3 (trinomial)
É importante mencionar que se a variável (neste caso "x") estivesse no denominador ou dentro de uma raiz, as expressões não seriam monômios ou polinômios.
O que é álgebra linear
Esta área da matemática e álgebra é a que estuda os conceitos de vetores, matrizes, sistemas de equações lineares, espaços vetoriais, transformações lineares e matrizes. Como pode ser visto, a álgebra linear tem várias aplicações.
Sua utilidade varia desde o estudo do espaço de funções, que são aquelas definidas por um conjunto X (horizontal) a um conjunto Y (vertical) e aplicadas a espaços vetoriais ou topológicos; equações diferenciais, que relacionam uma função (valor que depende do segundo valor) com suas derivadas (taxa instantânea de mudança que faz variar o valor de uma determinada função); pesquisa operacional, que aplica métodos analíticos avançados para tomar decisões acertadas; para a engenharia.
Um dos principais eixos do estudo da álgebra linear está nos espaços vetoriais, que são compostos por um conjunto de vetores (segmentos de uma reta) e um conjunto de escalares (números reais, constantes ou complexos, que possuem magnitude, mas não a característica do vetor de direção).
Os principais espaços vetoriais de dimensão finita são três:
- Os vetores em Rn, que representam coordenadas cartesianas (eixo X horizontal e eixo Y vertical).
- As matrizes, que são expressões de sistemas retangulares (representadas por números ou símbolos), são caracterizadas por um número de linhas (geralmente representadas pela letra "m") e um número de colunas (denotadas pela letra "n"), e eles são usados na ciência e na engenharia.
- O espaço vetorial dos polinômios de uma mesma variável, dado por polinômios que não ultrapassam o grau 2, possui coeficientes reais e se encontra na variável "x".
Funções algébricas
Refere-se a uma função que corresponde a uma expressão algébrica, ao mesmo tempo que satisfaz uma equação polinomial (seus coeficientes podem ser monômios ou polinômios). Eles são classificados em: valor racional, irracional e absoluto.
- As funções racionais inteiras são aquelas expressas em:, onde "P" e "Q" representam dois polinômios e "x" a variável, onde "Q" é diferente do polinômio nulo, e a variável "x" não cancela o denominador.
- Funções irracionais, nas quais a expressão f (x) representa um radical, como este:. Se o valor de “n” for par, o radical será definido de forma que g (x) seja maior e igual a 0, e o sinal do resultado também deve ser indicado, pois sem ele não seria possível falar em função, pois para cada valor de "x" haveria dois resultados; enquanto que se o índice do radical for ímpar, o último não é necessário, pois o resultado seria único.
- As funções de valor absoluto, onde o valor absoluto de um número real será seu valor numérico deixando de lado seu sinal. Por exemplo, 5 será o valor absoluto de 5 e -5.
Existem funções algébricas explícitas, nas quais sua variável "y" será o resultado da combinação da variável "x" um número limitado de vezes, usando operações algébricas (por exemplo, adição algébrica), que incluem elevação às potências e à extração de raízes; isso se traduziria em y = f (x). Um exemplo desse tipo de função algébrica poderia ser o seguinte: y = 3x + 2 ou o que seria igual: (x) = 3x + 2, já que “y” só se expressa em termos de “x”.
Por outro lado, existem as implícitas, que são aquelas em que a variável “y” não se expressa apenas em função da variável “x”, logo, y ≠ f (x). Como exemplo deste tipo de função, temos: y = 5x3y-2
Exemplos de funções algébricas
Existem pelo menos 30 tipos de funções algébricas, mas entre as mais proeminentes, estão os seguintes exemplos:
1. Função explícita: ƒ () = sin
2. Função implícita: yx = 9 × 3 + x-5
3. Função polinomial:
a) Constante: ƒ () = 6
b) Primeiro grau ou linear: ƒ () = 3 + 4
c) Segundo grau ou quadrático: ƒ () = 2 + 2 + 1 ou (+1) 2
d) Terceiro grau ou cúbico: ƒ () = 2 3 + 4 2 + 3 +9
4. Função racional: ƒ
5. Função potencial: ƒ () = - 1
6. Função radical: ƒ () =
7. Função por seções: ƒ () = se 0 ≤ ≤ 5
O que é álgebra de Baldor
Ao falar sobre o que é a álgebra de Baldor, refere-se a um trabalho desenvolvido pelo matemático, professor, escritor e advogado Aurelio Baldor (1906-1978), publicado em 1941. Na publicação do professor, que nasceu em Havana, Cuba, são revisados 5.790 exercícios equivalentes a uma média de 19 exercícios por teste.
Baldor publicou outros trabalhos, como "Plane and Space Geometry", "Baldor Trigonometry" e "Baldor Arithmetic", mas o que teve mais impacto no campo deste ramo foi a "Baldor Algebra".
Esse material, porém, é mais recomendado para o nível educacional intermediário (como o ensino médio), pois para os níveis superiores (universidade) dificilmente serviria de complemento a outros textos mais avançados nesse nível.
A famosa capa do matemático persa muçulmano, astrônomo e geógrafo Al-Juarismi (780-846), tem confundido os alunos que usaram esta famosa ferramenta matemática, pois se pensa que este personagem se trata de seu autor Baldor.
O conteúdo da obra está dividido em 39 capítulos e um apêndice, que contém tabelas de cálculos, uma tabela de formas básicas de decomposição de fatores e tabelas de raízes e potências; e no final do texto estão as respostas aos exercícios.
No início de cada capítulo, há uma ilustração que reflete uma visão histórica do conceito de que será desenvolvido e explicado abaixo, e menciona figuras históricas proeminentes no campo, de acordo com o contexto histórico em que a referência do conceito está localizado. Esses personagens variam de Pitágoras, Arquimedes, Platão, Diofanto, Hipácia e Euclides, a René Descartes, Isaac Newton, Leonardo Euler, Blas Pascal, Pierre-Simon Laplace, Johann Carl Friedrich Gauss, Max Planck e Albert Einstein.
A que se deve a fama deste livro?
Seu sucesso reside no fato de ser, além de famosa obra literária obrigatória nos colégios latino-americanos, o livro mais consultado e completo sobre o assunto, pois contém uma explicação clara dos conceitos e suas equações algébricas, bem como dados históricos sobre os aspectos. para estudar, em que a linguagem algébrica é tratada.
Este livro é a iniciação por excelência para os alunos no mundo algébrico, embora para alguns represente uma fonte de estudos inspiradores e para outros se tema, a verdade é que é uma bibliografia obrigatória e ideal para uma melhor compreensão dos temas abordados..
O que é álgebra booleana
O matemático inglês George Boole (1815-1864), criou um conjunto de leis e regras para realizar operações algébricas, a ponto de uma parte dela receber seu nome. Portanto, o matemático Inglês e lógico é considerado um dos precursores do computador ciência.
Nos problemas lógicos e filosóficos, as leis que Boole desenvolveu permitiam simplificá-los em dois estados, que são o estado verdadeiro ou o estado falso, e essas conclusões foram alcançadas por meio da matemática. Alguns sistemas de controle implementados, como contatores e relés, utilizam componentes abertos e fechados, sendo o aberto aquele que conduz e o fechado aquele que não conduz. Isso é conhecido como tudo ou nada na álgebra booleana.
Tais estados possuem uma representação numérica de 1 e 0, onde 1 representa o verdadeiro e 0 o falso, o que facilita seu estudo. Por tudo isso, qualquer componente de qualquer tipo ou nada pode ser representado por uma variável lógica, o que significa que pode apresentar o valor 1 ou 0, essas representações são conhecidas como código binário.
A álgebra booleana torna possível simplificar circuitos lógicos ou lógicos de comutação dentro da eletrônica digital; também através dela, os cálculos e operações lógicas dos circuitos podem ser realizados de forma mais expressa.
Na álgebra booleana existem três procedimentos fundamentais, que são: o produto lógico, a porta AND ou função de interseção; a soma lógica, porta OR ou função de união; e negação lógica, NÃO porta ou função de complemento. Existem também várias funções auxiliares: negação lógica do produto, porta NAND; negação da soma lógica, porta NOR; soma lógica exclusiva, porta XOR; e negação de soma lógica exclusiva, porta XNOR.
Na álgebra booleana, existem várias leis, entre as quais:
- Lei de cancelamento. Também chamada de lei de cancelamento, ela diz que em algum exercício após um processo, o termo independente será cancelado, de forma que (AB) + A = A e (A + B). A = A.
- Lei da identidade. Ou de identidade dos elementos 0 e 1, estabelece que uma variável à qual se acrescenta o elemento nulo ou 0, será igual à mesma variável A + 0 = A da mesma forma como se a variável fosse multiplicada por 1, o resultado é o mesmo A.1 = a.
- Lei idempotente. Declara que uma determinada ação pode ser executada várias vezes e o mesmo resultado, de modo que, se você tem uma combinação A + A = A e se é uma disjunção AA = A.
- Direito comutativo. Isto significa que não importa a ordem em que as variáveis são, então A + B = B + A.
- Lei da dupla negação. O involução, estados que se uma negação é dada outra negação um resultado positivo, de modo que (A ') = Uma.
- Teorema de Morgan. Estes dizem que a soma de alguma quantidade de variáveis negadas em geral será igual ao produto de cada variável negada independentemente, então (A + B) '= A'.B' e (AB) '= A' + B '.
- Lei distributiva. Estabelece que ao se juntar algumas variáveis, que serão multiplicadas por outra variável externa, será o mesmo que multiplicar cada variável agrupada pela variável externa, da seguinte forma: A (B + C) = AB + AC.
- Lei de absorção. Diz que se uma variável A implica uma variável B, então a variável A implicará A e B, e A será "absorvido" por B.
- Direito associativo. Na disjunção ou na junção de várias variáveis, o resultado será o mesmo independente de seu agrupamento; de modo que na adição A + (B + C) = (A + B) + C (o primeiro elemento mais a associação dos dois últimos, é igual à associação dos dois primeiros mais o último).
